تحضير درس: حل نظام مكوَّن من معادلتين تربيعيتين

نتاجات التعلّم

• حل نظام مكوَّن من معادلتين تربيعيتين
• تعرُّف عدد الحلول الممكنة لنظام مكوَّن من معادلتين تربيعيتين
• نمذجة مسألة حياتية باستعمال نظام مكوَّن من معادلتين تربيعيتين، ثم حل النظام

كما ترد في منهاج المركز الوطني لتطوير المناهج.

مثال محلول

أوجد حل النظام الآتي:y = x²y = 4

1. نساوي قيمتي y: x² = 4
2. نأخذ الجذر التربيعي مع الإشارتين: x = 2 أو x = −2
3. قيمة y ثابتة في الحالتين: y = 4
4. إذن (−2 ، 4) و (2 ، 4)

أسئلة للتدريب

حاول الحل أولًا، ثم افتح الإجابة والحل لتقارن.

1. أوجد حل النظام الآتي:y = x² − 4y = −x² + 4

   الإجابة والحل

   الإجابة(−2 ، 0) و (2 ، 0)

   1. نساوي قيمتي y: x² − 4 = −x² + 4
   2. نجمع x² ونضيف 4 إلى الطرفين: 2x² = 8، إذن x² = 4
   3. نأخذ الجذر التربيعي مع الإشارتين: x = 2 أو x = −2
   4. نجد y من y = x² − 4: في الحالتين y = 4 − 4 = 0
   5. إذن (−2 ، 0) و (2 ، 0)

2. أوجد حل النظام الآتي:y = x² − 2xy = −x² + 4

   الإجابة والحل

   الإجابة(−1 ، 3) و (2 ، 0)

   1. نساوي قيمتي y: x² − 2x = −x² + 4
   2. ننقل كل الحدود إلى الطرف الأيسر: 2x² − 2x − 4 = 0
   3. نقسم على 2: x² − x − 2 = 0
   4. نحلّل: (x − 2)(x + 1) = 0، فـ x = 2 أو x = −1
   5. نجد y من y = −x² + 4: عندما x = −1 فإن y = 3، وعندما x = 2 فإن y = 0
   6. إذن (−1 ، 3) و (2 ، 0)

3. أوجد حل النظام الآتي:y = x² + 1y = 2x² − 3

   الإجابة والحل

   الإجابة(−2 ، 5) و (2 ، 5)

   1. نساوي قيمتي y: x² + 1 = 2x² − 3
   2. نطرح x² ونضيف 3 إلى الطرفين: 4 = x²
   3. نأخذ الجذر التربيعي مع الإشارتين: x = 2 أو x = −2
   4. نجد y من y = x² + 1: في الحالتين y = 4 + 1 = 5
   5. إذن (−2 ، 5) و (2 ، 5)

4. كم حلًّا للنظام الآتي؟y = x² + 2x + 3y = −x² − 2x + 1

   الإجابة والحل

   الإجابةحل واحد

   1. نساوي قيمتي y: x² + 2x + 3 = −x² − 2x + 1
   2. ننقل كل الحدود إلى الطرف الأيسر: 2x² + 4x + 2 = 0، ونقسم على 2: x² + 2x + 1 = 0
   3. المميز: 2² − 4 × 1 × 1 = 0، فللمعادلة جذر واحد x = −1
   4. إذن للنظام حل واحد

5. هل النقطة (1 ، 0) حل للنظام الآتي؟ علّل.y = x² − 1y = −x² + 7

   الإجابة والحل

   الإجابةلا، لأنها لا تحقق المعادلة الثانية

   1. نعوّض النقطة (1 ، 0) في المعادلة الأولى y = x² − 1: 0 = 1² − 1 = 0، تتحقق
   2. نعوّضها في المعادلة الثانية y = −x² + 7: −1² + 7 = 6 ≠ 0، لا تتحقق
   3. إذن: لا، لأنها لا تحقق المعادلة الثانية

أسئلة التدريب من بنك إقرأ وليست من نص الكتاب المدرسي. راجع الإجابات قبل اعتمادها مع طلبتك.