تحضير درس: حل نظام مكوَّن من معادلة خطية ومعادلة تربيعية

نتاجات التعلّم

• حل نظام مكوَّن من معادلة خطية وأخرى تربيعية
• تعرُّف عدد الحلول الممكنة لنظام مكوَّن من معادلة خطية وأخرى تربيعية
• نمذجة مسألة حياتية باستعمال نظام مكوَّن من معادلة خطية ومعادلة تربيعية، ثم حل النظام

كما ترد في منهاج المركز الوطني لتطوير المناهج.

مثال محلول

حل النظام:y = xy = x²

1. نعوّض y = x في المعادلة الثانية: x = x²
2. ننقل كل الحدود إلى طرف واحد: x² − x = 0
3. نخرج العامل المشترك x ولا نقسم عليه كي لا نفقد الحل x = 0: x(x − 1) = 0
4. كل عامل يساوي صفراً: x = 0 أو x = 1
5. نجد y من y = x: عندما x = 0 فإن y = 0، وعندما x = 1 فإن y = 1
6. إذن (0 ، 0) و (1 ، 1)

أسئلة للتدريب

حاول الحل أولًا، ثم افتح الإجابة والحل لتقارن.

1. حل النظام:y = 2y = x² − 2

   الإجابة والحل

   الإجابة(−2 ، 2) و (2 ، 2)

   1. نعوّض y = 2 في المعادلة الثانية: 2 = x² − 2
   2. نضيف 2 إلى الطرفين: x² = 4
   3. نأخذ الجذر التربيعي مع الإشارتين: x = 2 أو x = −2
   4. قيمة y ثابتة في الحالتين: y = 2
   5. إذن (−2 ، 2) و (2 ، 2)

2. حل النظام:y = x + 1y = x² − 3x + 4

   الإجابة والحل

   الإجابة(1 ، 2) و (3 ، 4)

   1. نساوي قيمتي y: x + 1 = x² − 3x + 4
   2. ننقل كل الحدود إلى الطرف الأيمن: 0 = x² − 4x + 3
   3. نحلّل: (x − 1)(x − 3) = 0
   4. كل عامل يساوي صفراً: x = 1 أو x = 3
   5. نجد y من y = x + 1: عندما x = 1 فإن y = 2، وعندما x = 3 فإن y = 4
   6. إذن (1 ، 2) و (3 ، 4)

3. أوجد حل النظام الآتي:y = 3x − 1y = x² + x − 1

   الإجابة والحل

   الإجابة(0 ، −1) و (2 ، 5)

   1. نساوي قيمتي y: 3x − 1 = x² + x − 1
   2. نضيف 1 ونطرح 3x من الطرفين: 0 = x² − 2x
   3. نخرج العامل المشترك x ولا نقسم عليه كي لا نفقد الحل x = 0: x(x − 2) = 0
   4. كل عامل يساوي صفراً: x = 0 أو x = 2
   5. نجد y من y = 3x − 1: عندما x = 0 فإن y = −1، وعندما x = 2 فإن y = 5
   6. إذن (0 ، −1) و (2 ، 5)

4. أوجد حل النظام الآتي:y = −x + 4y = x² − x

   الإجابة والحل

   الإجابة(−2 ، 6) و (2 ، 2)

   1. نساوي قيمتي y: −x + 4 = x² − x
   2. نضيف x إلى الطرفين: 4 = x²
   3. نأخذ الجذر التربيعي مع الإشارتين: x = 2 أو x = −2
   4. نجد y من y = −x + 4: عندما x = 2 فإن y = 2، وعندما x = −2 فإن y = 6
   5. إذن (−2 ، 6) و (2 ، 2)

5. حل النظام:x + y = 5y = x² − 1

   الإجابة والحل

   الإجابة(2 ، 3) و (−3 ، 8)

   1. من x + y = 5 نكتب y = 5 − x، أو نعوّض y = x² − 1 مباشرة: x + (x² − 1) = 5
   2. نرتّب: x² + x − 6 = 0
   3. نحلّل: (x + 3)(x − 2) = 0
   4. كل عامل يساوي صفراً: x = 2 أو x = −3
   5. نجد y من y = x² − 1: عندما x = 2 فإن y = 3، وعندما x = −3 فإن y = 8
   6. إذن (2 ، 3) و (−3 ، 8)

أسئلة التدريب من بنك إقرأ وليست من نص الكتاب المدرسي. راجع الإجابات قبل اعتمادها مع طلبتك.