تبسيط المقادير الأسية وحل المعادلة الأسية: ٥ أخطاء وكيف تعالجها
قواعد الأسس في جدول، وخمسة أخطاء يكررها طلبة العاشر في تبسيط المقادير الأسية وحل المعادلات والأنظمة الأسية، لكل منها مثال محلول وعلاج.
تقوم الأسس على أربع قواعد: عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين، وعند القسمة نطرحهما، وعند رفع قوة إلى قوة نضربهما، والأس النسبي جذر وقوة معًا. وتقوم المعادلة الأسية على خطوة واحدة: نوحّد الأساس في الطرفين ثم نساوي بين الأسين. وفي الدرسين يكرر الطلبة خمسة أخطاء بعينها، نعرض كلًّا منها بمثال محلول وعلاج قصير. وللدرسين صفحتان فيهما نتاجات التعلّم وأسئلة تدريب بحلولها: تبسيط المقادير الأسية وحل المعادلة الأسية.
ما القواعد التي يحتاج إليها الطالب؟
نتاجات درس «تبسيط المقادير الأسية» في منهاج الصف العاشر: تعرّف الأسس النسبية وخصائصها، وكتابة مقادير أسية في أبسط صورة. ونتاجات درس «حل المعادلة الأسية»: حل معادلات أسية، وحل أنظمة معادلات أسية. والقواعد التي يبنى عليها الدرسان:
| العملية | القاعدة | مثال |
|---|---|---|
| الضرب | am · an = am+n | 23 · 24 = 27 = 128 |
| القسمة | am ÷ an = am−n | 57 ÷ 53 = 54 = 625 |
| قوة القوة | (am)n = amn | (32)3 = 36 = 729 |
| الأس النسبي | am/n = (n√a)m | 82/3 = (3√8)2 = 4 |
خمسة أخطاء وطريقة علاج كل منها
جمع الأساسين عند الضرب
يكتب الطالب 23 · 24 = 47، فيجمع الأساسين ويبقي الأسين. والصواب أن الأساس يبقى كما هو وتُجمع الأسس:
23 · 24 = 27 = 128
العلاج: اطلب منه أن يحسب الطرفين بالآلة: 47 = 16384 بينما 23 · 24 = 8 · 16 = 128. اختلاف الناتجين يكفي لإقناعه.
الخلط بين الجمع والضرب في الأسس
تتشابه القاعدتان فيخلط الطلبة بينهما: 23 · 24 = 212 (ضرب الأسين بدل جمعهما)، و(32)3 = 35 (جمعهما بدل ضربهما). والصواب:
23 · 24 = 27
(32)3 = 36 = 729
العلاج: اكتب القوة منشورة مرة واحدة: (32)3 = (3 · 3)(3 · 3)(3 · 3)، فيعدّ الطالب ستة عوامل بنفسه. وهذا أنفع من حفظ الجملة «اجمع هنا واضرب هناك».
الأس النسبي: قوة فقط أو جذر فقط
في 82/3 يحسب بعض الطلبة 82 ÷ 3 ≈ 21.3، ويأخذ آخرون الجذر التكعيبي وحده فيكتبون 2. والصواب أن المقام جذر والبسط قوة:
82/3 = (3√8)2 = 22 = 4
العلاج: ابدأ بالجذر لأنه يصغّر العدد: 272/3 = 32 = 9. وكرّر مثالًا مركبًا: 163/4 ÷ 81/3 = 23 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4، فيه جذر رابع لـ 16 ثم قوة، وجذر تكعيبي لـ 8.
نسيان معامل المتغير في الأس
المعادلة 32x = 81. يوحّد الطالب الأساس بصورة صحيحة 32x = 34، ثم يكتب x = 4 وكأن الأس هو x وحده. والصواب أن الأسين متساويان كاملين:
2x = 4 فيكون x = 2
وفي 2x+1 = 32 نكتب 2x+1 = 25 فيكون x + 1 = 5 أي x = 4.
العلاج: اشترط كتابة السطر «الأس = الأس» كاملًا قبل حل المعادلة الخطية الناتجة، ثم التحقق بالتعويض: 34 = 81.
مساواة الأسين دون توحيد الأساس في النظام
النظام: 2x = 4y وx + y = 6. يساوي الطالب بين الأسين مباشرة فيكتب x = y فيجد x = y = 3. التعويض يفضحه: 23 = 8 لكن 43 = 64. الأساسان مختلفان (2 و4)، فلا تُساوى الأسس قبل توحيدهما:
4y = (22)y = 22y
x = 2y ثم 2y + y = 6 فيكون y = 2 وx = 4
العلاج: قبل أي مساواة بين الأسس اسأل الطلبة: «هل الأساسان واحد؟». ثم تحققوا: 24 = 16 = 42.
تقويم قصير من ثلاثة أسئلة
خمس دقائق في آخر الحصة. يحلّ كل طالب بمفرده ثم تعرض الإجابات:
- حل المعادلة 4x = 64.
- حل المعادلة 9x = 3x+2.
- حل المعادلة 5x−1 = 25.
الإجابات: ١) 4x = 43 فيكون x = 3. ٢) 9x = 32x فتصبح 2x = x + 2 أي x = 2، والتحقق 92 = 81 = 34. ٣) 5x−1 = 52 فيكون x − 1 = 2 أي x = 3. وكل خطأ في هذه الأسئلة يطابق خطأ من الأخطاء الخمسة، فيصلح مشتتًا في اختبار قصير (راجع كيف تكتب أسئلة اختبار جيدة؟).
المصدر
- نتاجات الدرسين: منهاج الرياضيات للصف العاشر، الفصل الأول، وحدة «الأسس والمعادلات»، المركز الوطني لتطوير المناهج، كما ترد في صفحة منهاج الرياضيات للصف العاشر.
أسئلة شائعة
كيف أبسّط مقدارًا أسيًّا؟
استعمل قواعد الأسس: عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه تجمع الأسين، وعند القسمة تطرحهما، وعند رفع قوة إلى قوة تضربهما. مثال: 2 أس 3 في 2 أس 4 يساوي 2 أس 7 أي 128.
ما معنى الأس النسبي؟
هو أس على صورة كسر، مقامه رتبة الجذر وبسطه الأس. فالعدد 8 أس 2 على 3 يساوي مربع الجذر التكعيبي لـ 8، أي 4.
كيف أحل المعادلة الأسية؟
وحّد الأساس في الطرفين ثم ساوِ بين الأسين وحلّ المعادلة الناتجة. مثال: 2 أس (x+1) يساوي 32، فنكتب 32 على صورة 2 أس 5 فيكون x+1 يساوي 5، أي x يساوي 4.
متى لا يكون للمعادلة الأسية حل؟
حين يكون الطرف الآخر سالبًا أو صفرًا، مثل 2 أس x يساوي سالب 4، لأن القوة الموجبة الأساس لا تكون سالبة ولا صفرًا في الأعداد الحقيقية.
كيف أحل نظامًا فيه معادلة أسية؟
وحّد الأساس في المعادلة الأسية لتحصل على معادلة خطية بين المتغيرين، ثم حلّ النظام الخطي بالتعويض. مثال: 2 أس x يساوي 4 أس y مع x+y يساوي 6 يعطي x يساوي 2y ثم y يساوي 2 و x يساوي 4.
تدريب بحلول جاهزة
لكل من الدرسين صفحة فيها نتاجات التعلّم وأسئلة تدريب بحلولها: تبسيط المقادير الأسية وحل المعادلة الأسية. وفي إقرأ للمعلمين تطلب ورقة عمل أو اختبارًا قصيرًا من الدرس نفسه؛ راجع الأسئلة وحُلّها بنفسك قبل التوزيع.