٥ أخطاء يقع فيها طلبة العاشر في حل نظام معادلة خطية وتربيعية
خمسة أخطاء متكررة في حل نظام مكوَّن من معادلة خطية وأخرى تربيعية، لكل منها مثال محلول وعلاج، مع نشاط «جد الخطأ» وجدول لعدد الحلول.
أكثر الأخطاء تكرارًا في درس «حل نظام مكوَّن من معادلة خطية ومعادلة تربيعية» خمسة: القسمة على x فيضيع أحد الحلول، ونسيان إيجاد y، وخطأ الإشارة عند نقل الحدود، وعدم تمييز حالات عدد الحلول، ونسيان الإشارتين عند أخذ الجذر التربيعي. ولكل خطأ علاج قصير تضيفه إلى الحصة. نعرض هنا كل خطأ بمثال محلول، ثم نختم بنشاط «جد الخطأ» من خمس دقائق.
ما الخطوات الصحيحة لحل النظام؟
نتاجات الدرس في منهاج الرياضيات للصف العاشر ثلاثة: حل نظام مكوَّن من معادلة خطية وأخرى تربيعية، وتعرّف عدد الحلول الممكنة، ونمذجة مسألة حياتية بنظام كهذا ثم حلّه. وخطوات الحل أربع:
- عوّض المعادلة الخطية في التربيعية (أو ساوِ قيمتي y).
- رتّب المعادلة الناتجة إلى الصورة ax2 + bx + c = 0.
- حلّها بالتحليل أو بالقانون العام.
- عوّض كل قيمة لـ x في المعادلة الخطية لتجد y، واكتب الحل أزواجًا مرتبة.
وفي صفحة الدرس نتاجاته الرسمية ومثال محلول وأسئلة تدريب بحلولها.
خمسة أخطاء وطريقة علاج كل منها
القسمة على x فيضيع حل
النظام: y = 2x و y = x2. بالتعويض تصبح المعادلة x2 = 2x. يقسم الطالب الطرفين على x فيحصل على x = 2، ويكتب الحل (2 , 4) وحده.
الصواب: x2 − 2x = 0 ثم x(x − 2) = 0، فيكون x = 0 أو x = 2، والحلان (0 , 0) و (2 , 4).
العلاج: لا نقسم على مجهول إلا إذا تأكدنا أنه لا يساوي صفرًا. الأسلم أن ننقل كل الحدود إلى طرف واحد ونحلّل. وهذا الخطأ أشيع حين يكون الحد الثابت صفرًا.
التوقف عند قيم x
النظام: y = x + 2 و y = x2. تصبح المعادلة x2 − x − 2 = 0 أي (x − 2)(x + 1) = 0. يكتب الطالب «x = 2 أو x = −1» وينتهي، أو يجمع x من حل مع y من حل آخر فيكتب (2 , 1).
الصواب: عند x = 2 يكون y = 4، وعند x = −1 يكون y = 1. الحلان (2 , 4) و (−1 , 1).
العلاج: عوّض كل قيمة لـ x على حدة في المعادلة الخطية، واكتب الزوج فورًا. فحل النظام نقطة، لا عدد واحد.
تغيير الإشارة عند نقل الحدود
النظام: y = x + 1 و y = x2 − 3x + 4. تصبح المعادلة x + 1 = x2 − 3x + 4. الصواب أن نصل إلى x2 − 4x + 3 = 0. أما الطالب الذي ينقل x دون أن يعكس إشارته فيكتب x2 − 2x + 3 = 0، ومميّزها سالب (4 − 12 = −8)، فيعلن أن «لا حل للنظام» وهو خطأ.
الصواب: (x − 1)(x − 3) = 0، فالحلان (1 , 2) و (3 , 4).
العلاج: عند نقل حد غيّر إشارته، ثم تحقق بتعويض الحل في المعادلتين. وإذا قال الطالب «لا حل» فاطلب منه أن يرسم المنحنيين تقريبًا: هل يلتقيان؟
الظن أن للنظام حلين دائمًا
يتوقع كثير من الطلبة حلين في كل مرة، فإذا ظهر حل واحد ظنّوا أنهم أخطؤوا، وإذا لم يجدوا جذورًا حقيقية توقفوا دون أن يفهموا السبب. والصواب أن للنظام صفر أو واحدًا أو اثنين من الحلول، ويحدد ذلك المعادلة التربيعية الناتجة (انظر الجدول أدناه).
العلاج: اعرض الحالات الثلاث على رسم واحد، مستقيمًا يقطع القطع المكافئ في نقطتين، ثم يمسه، ثم لا يلاقيه. وللحل البياني في الوحدة نفسها «معمل برمجية جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانيًّا» يمكن الاستعانة به.
نسيان الإشارتين عند أخذ الجذر
النظام: y = 5 و y = x2 + 1. بالتعويض x2 + 1 = 5 أي x2 = 4. يكتب الطالب x = 2 ويكتفي بالحل (2 , 5).
الصواب: x = ±2، والحلان (2 , 5) و (−2 , 5). المستقيم الأفقي y = 5 يقطع القطع المكافئ في نقطتين متماثلتين.
العلاج: اكتب «±» في السطر نفسه الذي تأخذ فيه الجذر، واسأل الطلبة: لماذا نتوقع نقطتين متماثلتين؟
كم حلًّا للنظام؟ ثلاث حالات
بعد التعويض نحصل على معادلة تربيعية في x. عدد حلولها الحقيقية هو عدد حلول النظام، ويُعرف من مميّزها b2 − 4ac.
| المميّز | عدد حلول النظام | المعنى الهندسي | مثال |
|---|---|---|---|
| موجب | حلان | المستقيم يقطع القطع المكافئ في نقطتين | y = x + 2 , y = x2: المميّز 9، الحلان (2 , 4) و (−1 , 1) |
| صفر | حل واحد | المستقيم يمسّ القطع المكافئ | y = 2x − 1 , y = x2: (x − 1)2 = 0، الحل (1 , 1) |
| سالب | لا حل | المستقيم لا يلاقي القطع المكافئ | y = x − 3 , y = x2: x2 − x + 3 = 0، المميّز −11 |
نشاط الدقائق الخمس: جد الخطأ
اعرض على السبورة هذا الحل لطالب افتراضي واطلب من الطلبة، في أزواج، أن يجدوا خطأيه:
حلّ النظام y = x − 2 و y = x2 − 2x.
x − 2 = x2 − 2x ⇒ x2 − x − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0
الحل: x = 2 أو x = −1.
الإجابة: الخطأ الأول في نقل الحدود (الخطأ ٣): الصواب x2 − 3x + 2 = 0 أي (x − 1)(x − 2) = 0. والخطأ الثاني أن الطالب لم يجد y (الخطأ ٢). الحلان الصحيحان (1 , −1) و (2 , 0). وهذا التعويض يكشف الخطأ بسرعة: عند x = −1 المعادلة الخطية تعطي y = −3 والتربيعية تعطي y = 3، فلا يصلح x = −1. وقد صادف أن x = 2 صحيح، فاسأل: هل يكفي أن نجد جذرًا صحيحًا واحدًا؟
حوّل الأخطاء إلى أسئلة
هذه الأخطاء الخمسة مادة جاهزة لمشتتات سؤال الاختيار من متعدد، فالجواب الذي يصل إليه من قسم على x هو مشتت جيد. وتجد القاعدة في كيف تكتب أسئلة اختبار جيدة؟، وطريقة بناء ورقة تدريب متدرجة في ورقة العمل الناجحة.
المصدر
- نتاجات الدرس: منهاج الرياضيات للصف العاشر، الفصل الأول، وحدة «الأسس والمعادلات»، المركز الوطني لتطوير المناهج، كما ترد في صفحة منهاج الرياضيات للصف العاشر.
أسئلة شائعة
كيف أحل نظامًا من معادلة خطية وأخرى تربيعية؟
عوّض المعادلة الخطية في التربيعية أو ساوِ قيمتي y، ثم رتّب المعادلة الناتجة إلى الصورة العامة وحلّها بالتحليل أو بالقانون العام. بعد ذلك عوّض كل قيمة لـ x في المعادلة الخطية لتجد y، واكتب الحل أزواجًا مرتبة.
كم حلًّا يمكن أن يكون لنظام من معادلة خطية وأخرى تربيعية؟
لا حل، أو حل واحد، أو حلان. يحدد ذلك المعادلة التربيعية الناتجة بعد التعويض: مميّزها الموجب يعني حلين، والصفر حلًّا واحدًا (المستقيم يمسّ القطع المكافئ)، والسالب لا حل.
لماذا لا نقسم على x عند حل النظام؟
لأن x قد يساوي صفرًا، فتضيع الحل الذي قيمة x فيه صفر. الأسلم أن ننقل كل الحدود إلى طرف واحد ونحلّل المقدار.
كيف أتحقق من صحة حل النظام؟
عوّض كل زوج مرتب في المعادلتين معًا. الزوج الذي يحقق إحداهما فقط ليس حلًّا للنظام، وهذا التعويض يكشف أخطاء الإشارات ونسيان القيم.
هل يمكن حل النظام بيانيًّا؟
نعم. حلول النظام هي نقاط تقاطع المستقيم مع القطع المكافئ، وفي وحدة «الأسس والمعادلات» معمل برمجية جيوجبرا لحل أنظمة المعادلات بيانيًّا. والرسم يؤكد عدد الحلول لكنه لا يعطي قيمًا دقيقة دائمًا، فيُستكمل بالحل الجبري.
حضّر الدرس بنفسك
افتح صفحة الدرس لتجد نتاجاته ومثالًا محلولًا وأسئلة تدريب بحلولها. وفي إقرأ للمعلمين تختار الدرس فتطلب ورقة عمل أو اختبارًا قصيرًا مبنيًّا على نتاجاته؛ راجع الأسئلة وحُلّها بنفسك قبل توزيعها.