كيف تشرح قانون الجيوب وجيب التمام؟ ٤ حالات لحل المثلث وخطة من حصتين

٢٤ تشرين الأول ٢٠٢٦ · ٨ دقائق قراءة

متى نستعمل قانون الجيوب ومتى جيب التمام؟ أربع حالات لحل المثلث، وخطة حصتين من ٤٥ دقيقة، ومثال محلول لكل حالة، والحالة الملتبسة، وأخطاء شائعة.

يحلّ قانون الجيوب كل مثلث يُعلم فيه ضلع وزاويته المقابلة، ويحلّ قانون جيب التمام ما عداه: ضلعين وزاوية محصورة بينهما، أو ثلاثة أضلاع. وبهذا تتوزع الحالات الأربع لحل المثلث على قانونين، وتتوزع الوحدة على حصتين: الأولى للجيوب والثانية لجيب التمام. نقدّم هنا خطة الحصتين، ومثالًا محلولًا لكل حالة، والأخطاء التي تستحق أن تنبّه إليها قبل أن تقع.

أي قانون أستعمل؟

أول ما يحتاج إليه الطالب قاعدة اختيار. ارسم المثلث دائمًا وضع علامة على المعلوم، ثم راجع الجدول:

القانونان: a / sin A = b / sin B = c / sin C للجيوب، وc² = a² + b² − 2ab cos C لجيب التمام. نتاجات الدرسين في المنهاج: استنتاج القانون، وحل المثلث في الحالات المذكورة أعلاه (انظر المصدر في آخر المقال).

الحصة الأولى: قانون الجيوب

1. ٠–٥ دقائق: تمهيد. «كيف نقيس عرض نهر دون أن نعبره؟». ارسم مثلثًا بضلع على الضفة وزاويتين مقيستين، واترك السؤال معلّقًا.
2. ٥–١٥: استنتاج القانون. في مثلث حاد الزوايا أنزل ارتفاعًا h من الرأس C على الضلع AB. يمكن كتابته بطريقتين: h = b sin A وh = a sin B. فيتساوى b sin A = a sin B أي a / sin A = b / sin B.
3. ١٥–٢٥: مثالان محلولان (أدناه).
4. ٢٥–٤٠: تدريب موجَّه في أزواج، ستة أسئلة من الأسهل إلى الأصعب، بينها سؤال من موقف حياتي.
5. ٤٠–٤٥: إغلاق. بطاقة خروج: «في أي حالة أستعمل قانون الجيوب؟ اكتب مثالًا».

الحالة الملتبسة: متى يوجد مثلثان؟

في حالة «ضلعان وزاوية مقابلة لأحدهما» قد يعطي القانون زاويتين ممكنتين، لأن sin B = sin (180° − B). خذ: a = 8 cm وb = 12 cm وA = 40°.

sin B = 12 × sin 40° ÷ 8 ≈ 0.9642

فتكون B ≈ 74.6° أو B ≈ 105.4°. وكلتاهما مقبولة لأن مجموع الزاويتين 40° + 105.4° = 145.4° أقل من 180°:

القاعدة المختصرة: إذا كانت الزاوية المعلومة حادة والضلع المقابل لها a أقصر من الضلع الآخر b وأطول من b sin A فهناك مثلثان. وإن لم تحتج إلى هذا التفصيل في صفك فاعرضه كسؤال تحدٍّ.

الحصة الثانية: قانون جيب التمام

1. ٠–٥ دقائق: تمهيد. سؤال: «نعرف ضلعين والزاوية بينهما. هل ينفع قانون الجيوب؟». يحاول الطلبة فيكتشفون أنه لا يتوافر ضلع مقابل لزاوية معلومة.
2. ٥–١٥: استنتاج القانون من ارتفاع ينزل من B على AC (الخطوات تحت القائمة).
3. ١٥–٢٥: مثالان محلولان (أدناه).
4. ٢٥–٤٠: تدريب موجَّه يخلط الحالات الأربع، فيختار الطلبة القانون أولًا ثم يحلّون.
5. ٤٠–٤٥: إغلاق. بطاقة خروج: ثلاث مسائل، ويكتب الطالب القانون المناسب لكل منها دون حل.

استنتاج قانون جيب التمام. الارتفاع النازل من B على AC طوله c sin A، ويقسم AC إلى جزأين: c cos A وb − c cos A. ومن فيثاغورس في المثلث القائم الذي وتره a:

a² = c² sin²A + b² − 2bc cos A + c² cos²A

a² = b² + c² − 2bc cos A

والانتقال إلى السطر الثاني لأن sin²A + cos²A = 1.

أخطاء شائعة في الدرسين

• الآلة الحاسبة على وضع الراديان. في هذا الوضع يعطي sin 30 العدد −0.988 بدل 0.5. اطلب من الطلبة في بداية كل حصة أن يتحققوا من أن sin 30° = 0.5 على آلاتهم.
• اختلاط الأزواج. يضع الطالب في النسبة ضلعًا مع زاوية غير مقابلة له. علّمهم أن يسمّوا الضلع بالحرف الصغير نفسه الذي تُسمّى به زاويته المقابلة بالحرف الكبير: a مع A.
• التقريب المبكر. تقريب sin 40° إلى رقمين يغيّر الجواب في الخانة الثانية. احتفظ بالقيم في الآلة ولا تقرّب إلا في السطر الأخير.
• نسيان الاحتمال الثاني في حالة الضلعين والزاوية المقابلة، كما في الحالة الملتبسة أعلاه.
• البدء بالجيوب حين يُعلم ضلعان والزاوية المحصورة. لا يوجد زوج معلوم، فيتعطل الحل. القاعدة: ابدأ بجيب التمام.
• جيب التمام لزاوية منفرجة. يخرج سالبًا، وهذا صحيح. لا تعلّم الطلبة أن الإشارة السالبة تدل على خطأ.

سؤال سريع لتقويم الحصتين

اطلب من الطلبة أن يختاروا القانون المناسب لكل حالة دون حل:

1. A = 50° , B = 60° , c = 12
2. a = 6 , b = 8 , C = 35°
3. a = 4 , b = 5 , c = 7
4. a = 9 , b = 7 , A = 52°

الإجابة: ١) الجيوب (نجد C أولًا)، ٢) جيب التمام، ٣) جيب التمام، ٤) الجيوب (ضلعان وزاوية مقابلة لأحدهما). ويصلح كل منها أصلًا لسؤال اختيار من متعدد مشتتاته أخطاء الطلبة (راجع كيف تكتب أسئلة اختبار جيدة؟).

المصدر

• نتاجات الدرسين: منهاج الرياضيات للصف العاشر، الفصل الأول، وحدة «تطبيقات المثلثات» (درسا «قانون الجيوب» و«قانون جيب التمام»)، المركز الوطني لتطوير المناهج، كما ترد في صفحة منهاج الرياضيات للصف العاشر.